千年未解质数之谜或藏在准晶体结构中?新钻探发现原子排列与质数种类惊人重合

原标题:千年未解质数之谜或藏在准晶体结构中?新研究发现原子排列与质数序列惊人重合

1895 年 X 射线的发现标志着现代物理学的诞生, X
射线发现后,包括伦琴在内的很多科学家都兴趣盎然 地投身于 X
射线本质的研究。X 射线的发现及其研究,
为物理、化学、生物学、医学、天文学等学科的发展提供了革命性的手段和广阔的前景,也为相关学科造就了数十名诺贝尔奖获得者。尤其在物理学领域,物理学家们对于
X 射线的研究推动了物理学自身的发展。本文回顾 X 射线的发现,以及 X
射线晶体衍射现象和 X 射线晶体学的研究,以纪念它具有特殊的重要意义。

古希腊数学家欧几里得于公元前 300
年前后证明有无限多个素数存在以来,至今科学家仍未发现可以完全区别素数与合数的公式。此外,还有许多有关素数的问题依然未解,如哥德巴赫猜想。但素数已广泛应用在我们的生活中,例如公钥加密就利用了难以将大数分解成其素因数的性质。目前,确定一个数是否为素数只能进行测试,而难以通过规律准确预测。

X 射线的发现

而最近,在普林斯顿大学的一项研究中,科学家发现隐藏在素数分布背后的规律。通过
X
射线研究准晶体材料内部原子排列模式,研究人员发现所得到的结果与数轴上的素数序列之间有着惊人的相似之处。**
这一结果或将极大提高素数预测的精度。**

X 射线的发现源于阴极射线的研究。19 世纪末,
许多科学家都在研究阴极射线,1891 年,德国物理学 家赫兹 (H.
Hertz,1857~1894) 发现阴极射线可穿透放 电管内的金属箔片,1893
年,赫兹的学生勒纳德 (P. Lenard,1862~1947) 继续研究,试图将阴极射线引出
放电管外,以便于研究射线的性质,因此他将放电管壁上正对阴极的地方制作一个铝制的小窗口。他发现,
阴极射线在大气中的射程只有几厘米。而伦琴相信,一定还有一些问题需要解决,并于
1895 年 10 月开始研究阴极射线。

微软研究中心的首席研究员 Henry Cohn
虽没有参与这项研究,但他说:“这篇论文的有趣之处在于,它为我们提供了一个关于质数的不同视角:我们可以将它们视为粒子,还能尝试通过X射线衍射绘制出它们的结构。这项研究提供了一个优美的新视角,建立了材料科学与晶体散射理论的新联系。”

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图1 伦琴(Wilhelm Röntgen,1845~1923)

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普林斯顿大学的研究人员发现质数与某些准晶体材料中的原子位置有相似的排列模式。(来源:Kyle
McKernan, Office of Communications)

在开始一个新的课题前,伦琴总要先重复别人的 工作。11 月 8
日晚,伦琴为了避免环境光的影响,
他用黑纸把放电管包严,在完全遮光的暗室内进行实
验。他用一张涂有氰亚铂酸钡的纸板作为荧光屏,他利用比勒纳德更高的电压和真空度,看看阴极射线是
否能射入空气更远些。当放电管加上大电压时,他发 现,在黑暗中距离放电管约
1 米处的荧光屏发出微弱
的闪光。断开电源,闪光消逝;再次加上电压,闪光重现;他把纸屏移至两米多远或把纸屏翻过来仍有荧
光出现。

质数(Prime number),又称素数,指在大于
1 的自然数中,除了 1
和该数自身外,无法被其他自然数整除的数(也可定义为只有 1
与该数本身两个因数的数)。其中,大质数是许多密码系统的基本构造单元。虽然数学家已经研究了素数的一些顺序规律,但总的看来质数似乎是随机地分布在数轴上的。最小的几个素数是
2、3、5、7 和
11,随着数轴的延伸,较大的素数的分布则变得更加零散。

射线可透过铝制窗口达一米多远的荧光屏产生荧光,实际上阴极射线打在铝制的小窗口出来的就是
X
射线,有人将此射线称为“勒纳德射线”,但是勒纳德并没有深入研究,由此错过了
X 射线的发现。伦琴继续阴极射线的研究,才有了新的发现。

在最近发表于 Journal of Statistical
Mechanics: Theory and Experiment 的研究表明,质数并不像先前所想的那样毫无规律的随机分布。研究人员发现质数在数轴上的序列与
X 射线在材料衍射出的内部原子排列具有惊人的相似性。
普林斯顿材料科学与技术研究所的 Salvatore
Torquato
教授和他的同事发现,当考虑大范围时,质数比之前认为的更加有规律,这一模式即“超齐构体”模式。这项分析或将对数学和材料学领域的研究者提供帮助。

伦琴意识到,新的射线不应是阴极射线,因为阴极射线是不能透过黑纸板,而且在空气中的射程只有
几厘米。对此,他废寝忘食地不断重复,最后发现,
新的射线可以直线传播,遇到障碍物既不反射,也不折射,在外界磁场下也不偏转;射线具有非常强的穿透本领,能透过上千页的书,甚至几毫米厚的铝板,
但不能透过几毫米厚的铅板。他还发现,这种射线能
透过手掌而在荧光屏上显现出手指骨的轮廓,于是 12 月 22
日,他用这种射线给他夫人的手拍了一张照片 ( 如图 2 所示
),其指骨清晰,甚至结婚戒指也清晰显 露出来。这就是伦琴公开的第一张 X
射线照片!据说, 他的妻子看到这张照片时吓了一跳,她称该射线为“死
亡的征兆”。虽然话有些夸张,但伦琴却因 X 射线的发现获得了 1901
年诺贝尔物理学奖。这是第一个获得诺贝尔物理学奖的科学家。

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图 | Salvatore Torquato。(来源:C. Todd
Reichart, Department of Chemistry)

图2 第一张X 射线照片——伦琴夫人手指X 射线照片

“质数的分布远比我们以前认为的要有规律的多”,普林斯顿大学自然科学教授
Lewis Bernard 和 Torquato
教授说,“我们发现质数的分布表现的就像晶体材料一样,更准确地说,是一种称为‘准晶体’的类似晶体的材料。”

1895 年 12 月 28 日他发表了关于新射线的论文。
他称这种本质尚不清楚的新射线为 X 射线。1896 年 1 月 5
日,维也纳《新闻报》报道了伦琴发现 X 射线的 消息,并引起了轰动。1 月 23
日,伦琴在维尔茨堡大学物理研究所作了关于 X 射线的第一次报告。他还邀
请维尔茨堡大学解剖学教授克利克尔,用 X 射线拍摄
了克利克尔一只手的照片。克利克尔教授带头祝贺,
当即建议把这种射线命名为伦琴射线。

Torquato
及其同事发现,当从数轴上很长一段来看时,质数的分布要比之前所认为的更有规律,属于所谓的“超齐构体”(hyperuniformity)模式。“超齐构体”材料(hyperuniform
materials)具有特殊的长程有序性,包括晶体、准晶以及某些特殊无序系统。目前,科学家在鸟类眼睛中视锥细胞的排列中、某些罕见的陨石中以及宇宙大尺度结构中发现了这种“超齐构体”。

X 射线本质的探索

研究者表示,他们在质数中发现的排列模式,跟 X
射线与某些物质相互作用时所得到的模式是一致的。作为化学家的 Torquato
教授非常熟悉 X 射线晶体学,这是一门利用 X
射线来研究晶体中原子排列的学科。比如钻石或其他晶体,在与 X
射线相互作用的过程会产生可预测的亮点或峰值模式,称为“布拉格峰”(Bragg
peaks)。

X
射线是高速运动的电子与物体碰撞时产生的一种电磁波。伦琴发现的新射线,因为并不清楚它的
性质,在当时科学界引起极大的争论,且对新射线本质的认识主要分为两种看法:一些人认为,X
射线是一些带电粒子,其主要支持者是英国物理学家布拉格 (W. Bragg)( 见图
3);另一些人认为,X 射线是具有
偏振性的横波,其主要支持者是英国物理学家巴克拉 (C. Barkla)( 见图
4)。这场争论并未得到明确的结论,但还是在科学界产生了一定的影响。

相比于典型的晶体材料,准晶材料的布拉格峰排布则更为复杂。典型晶体的布拉格峰会形成规律的有空隙间隔的排布,但在准晶中,任意两个布拉格峰之间,还可以找到一个新的布拉格峰。

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Torquato
及其同事在质数中发现的模式类似于准晶体中原子的排布模式以及一个称为“有限周期序”(limit-periodic
order)系统,但却稍有不同,所以研究者称其为“有效有限周期”(effectively
limit-periodic)。素数出现在一些具有“自相似性”的数组中,也就是说在某些较高的数值“峰”之间,有许多组较小的“峰”。

图3 布拉格(William Henry Bragg,1862-l942)

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图 |
将素数看作“原子”,红点表示非素数,黑点表示素数。研究者发现某些素数与某些类晶体结构中的原子排布有相似的模式。(来源:Salvatore
Torquato 等)

图4 巴克拉(Charles Glover Barkla,1877~1944 )

研究者首先利用计算机模拟研究了将质数作为一串原子与
X 射线相互作用后会发生什么,然后才发现了这个明显的排列模式。在今年 2
月曾发表在《物理学杂志
A》上的研究中,研究报道了所发现的一个令人惊讶的类似于布拉格峰的图样,这表明素数的排列模式其实是高度有序的。

首先讨论 X 射线的粒子性。布拉格根据 γ
射线能使原子电离,在电场和磁场中不受偏转以及穿透力极强等事实,主张 γ
射线是由中性偶——电子和正电荷 组成。布拉格认为,X
射线也一样,并由此解释了当 时已知的各种 X 射线现象。

在近日的研究中,研究者利用数论方法为前期的模拟实验提供了有力的理论基础。研究者发现,尽管质数在数轴上较短的间隔里是随机出现的,但在数轴上足够长的范围里,从这些看似混乱的数字中也能找到一定的规律。

然后讨论 X 射线的波动性。1906 年,英国物理学家巴克拉利用 X
射线经两个散射物的二次辐射强度的分布,证明 X 射线具有偏振性。图 5
给出了检验 X 射线偏振特性的实验示意图,当 X 射线以 45° 的入射
角照射到第一散射体上,将会产生沿 x 方向出射的二次辐射 X
射线,该二次辐射的 X 射线再照射到第二
散射体上时分别沿不同方向观察二次辐射的 X 射线强 度,巴克拉发现,在 z
方向上观察到 X 射线最强,而 在 y 方向上观察不到 X 射线,这就证明 X
射线具有偏振性。也就是说,X
射线是电磁波,为横波,即振动方向与传播方向垂直。根据 X
射线的偏振性,说明 X 射线和普通光是类似的。巴克拉关于 X
射线的偏振实验和波动性观点可以说是后来劳厄发现 X 射线衍射的前奏。

“当到达那个明显的界限时,”Torquato
教授说着,打了个响指,“砰!有序的结构就出现了。”

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De Courcy-Ireland
说,一种称为“圆方法”(circle
method)的方法曾描述过类似的数字模式,那是在近一个世纪前发明的用于寻找质数模式的方法。

图5 X 射线偏振实验示意图

“对我来说,有趣的是这些结果追溯可以到
1922
年,然后用某种方式重新阐述它们,得到一个非常有趣的系统,一个有可能指明从哪里能找到更多质数的系统。”De
Courcy-Ireland 说。

要想确定 X 射线是否具有波动性,人们自然想 到利用光学中的衍射光栅来观察 X
射线的衍射现象。 可要想观察到 X 射线的衍射,则衍射光栅的光栅常数 (
即光栅上每个透光和不透光周期单元的长度 ) 则需与 X
射线的波长在同样的数量级。当时最密的人工衍射光栅,仅适用于一般可见光线。由
X 射线的穿透力得 知,若 X 射线是波,估计其波长要短得多——约为可
见光波长的千分之一。从技术上讲,制作如此精细的光栅是完全不可能的。

这一发现或将有助于数学和材料科学方面的研究。“素数具有漂亮的结构性质,包括不可预期的次序、超齐构体性以及有效有限周期性(effectively
limit-periodic)”,Torquato
说,“素数给我们指出了一种全新的物质状态。”

大约在 1912 年 1 月底,德国物理学家索末菲 (A. Sommerfeld,1868~1951)
的一位学生厄瓦尔德 (P. Ewald) 在准备博士论文过程中,为研究光波在晶格中
的行为而寻找数学处理方法时遇到了一些困难,为此 他向劳厄 (M. Laue)( 见图
6) 请教。在他们的探讨中劳 厄了解到晶体中原子间的距离很小,与可见光的波长
相比大概只有波长的 1/500 或
1/1000。劳厄想到,虽然人工做不出这样细的光栅,但自然界中的晶体也许能行。晶体是一种几何形状整齐的固体,而在固体平
面之间有特定的角度,并且有特定的对称性。这种规律是构成晶体结构的原子有次序地排列的结果。一层原子和另一层原子之间的距离大约是
X 射线波长的大小。如果这样,晶体应能使 X
射线衍射。劳厄酝酿出一个实验:把晶体当作一个三维光栅,让一束 X 射
线穿过,由于空间光栅的间距与 X
射线波长的估计值在数量级上近似,可期望观察到衍射谱。虽然劳厄的想法受到索末菲和维恩
(W. Wien) 等著名物理学家的怀疑,但是在索末菲的助手弗里德里希 (W.
Friedrich) 和伦琴的博士研究生克尼平 (P. Knipping)
的支持和参与下,他们终于成功地观察到 X
射线透过硫酸铜后的衍射斑点。通过改进仪器设备数周后他们照出更为清晰的
ZnS、PbS 和 NaCl 等晶体的 X 射线衍射图 ( 如 图 7 所示 )。

-End-

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编辑:Lisa 责编:戴青

图6 劳厄(Max von Laue,1879~1960)

参考:

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图7 ZnS 晶体的X 射线衍射图

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在实验上观测到晶体的衍射花样之后,劳厄就面临着理论解释的问题。实际所要求的就是将物理光学
中的一维光栅理论公式,推广到三维。

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这里先讨论一维光栅,如图 8 所示,当光入射到光栅常数为 a
的一维光栅时,光将发生衍射。形成衍射极大 ( 即亮条纹 )
的条件是光程差为波长的整数 倍。由图 8 可知相邻衍射光线的光程差为距离为
BCAD,由此可得一维光栅衍射的理论公式:

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满足 (1) 的光将形成亮条纹,这些衍射光在整个空间形成如图 8 所示的圆锥。

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图8 一维光栅的衍射条件示意图

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